Ein Aufzählungsproblem mit Deltaedern

Aus gleichseitigen Dreiecken kann man auch Polyeder herstellen, bei denen nicht an jeder Ecke die gleiche Zahl von Flächen zusammenkomt, die sogenannten Deltaeder. Die frühesten Hnweise in der Literatur sind:
O. Rausenberger (1915): Konvexe pseudoreguläre Polyeder. Zeitschr. fur math. und naturwiss. Unterricht 46, 135-142
Freudenthal, H. & van der Waerden, B.L. (1947): On an Assertion of Euclid. Simon Stevin 25, 115-121

Einige dieser Polyeder sind auf dem Bild unten dargestellt (unter Beschränkung auf Fälle, bei denen der Flächenwinkel <= 180 Grad ist).
Folgendes Problem ergibt sich:
Die Gleichungen
E + F = K + 2 ,
K = 3 * F / 2 (nur Dreiecke),
Σ (Anzahl Kanten, die an einer Ecke zusammenstoßen) * (derartige Ecken) = K * 2
lassen sich auch durch Zahlen befriedigen, denen keine mögliche räumliche Konfiguration entspricht.
Beispiele:

E F 3er-Ecken 4er-Ecken 5er-Ecken
7 10 2 1 4
8 12 1 2 5
9 14 1 1 7
10 16 1   9
11 18   1 10

Es ist nicht schwer, durch kombinatorischen Vorgehehn zu zeigen, dass diese Konfigurationen nicht möglich sind (und so haben das auch bereits die Erstbeschreiber getan), jedoch:
Kann man dieses Problem auch rechnerisch lösen?

Links zu diesem Thema:
http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/deltahedra-info.html

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