Betrachten Sie die Figur unten. Wir sehen eine Parabel. Auf ihr liegt Punkt
A. Wie wir wissen, ist die Parabel eine Ortslinie mit der Eigenschaft,
dass die Strecken a (von A zum Brennpunkt) und a' (von A zur Direktrix)
gleich lang sind.
Wenn ein achsparallel einfallender Strahl bei A nun auf einen Spiegel
mit der Richtung w2 (der Winkelhalbierenden von a und a') fällt,
wird er nach dem Gesetz "Einfallswinkel = Ausfallswinkel" reflektiert
(vergleichen Sie die zweite Winkelhalbierende w2) und geht durch den
Brennpunkt. Aufgabe 1: Warum? Klären Sie die geometrischen Beziehungen!
Der Punkt A (blau) kann verschoben werden. Aufgabe 2: Experimentieren
Sie ein wenig und beobachten Sie, wie sich die Figur verändert.
Man erkennt beim Probieren: Der Brennpunkt heißt deshalb
Brennpunkt, weil anscheinend für alle achsparallelen Strahlen
gilt, dass sie zu ihm hin reflektiert werden (wenn die Parabel ein
Spiegel ist, wird es im Brennpunkt brennend heiß). Denn die
Winkelhalbierende w2 zwischen a (dem Brennstrahl) und a' ist
offensichtlich die Tangente an die Parabel, d.h. die Parabel hat an dem
jeweiligen Punkt die gleiche “Richtung“ wie die Winkelhalbierende w2.
(Die Reflexion an der Parabel selbst muss man sich ja als Reflexion an
ihrer Tangente vorstellen.)
Zu zeigen ist also, dass die Parabel in Punkt A just die gleiche
Richtung hat wie die Winkelhalbierende w2.
Wenn das für einen beliebigen Punkt A gezeigt werden kann, gilt es
für alle Punkte auf der Parabel. Aufgabe 3: Ist das so: was für einen (beliebigen) gilt,
gilt für alle?
Schieben Sie nun den Punkt A, falls er inzwischen nicht mehr dort sein
sollte, zurück auf die linke Hälfte der Parabel, und ebenso
den Punkt C, der sich anfangs rechts befunden hat. C soll allerding unterhalb
von A bleiben. Für C gilt als
Parabelpunkt ebenfalls, dass die von ihm ausgehenden Strecken c und c'
gleich lang sind.
Nun wird das
Viereck ABCD dadurch gebildet, dass von C die Lote auf a und a'
gefällt werden. Aufgabe 4: Betrachten Sie das Viereck ABCD. Wie verändert es
sich, wenn sich der Punkt C dem Punkt A nähert?
Stellen Sie sich nun umgekehrt vor (und probieren Sie es aus), der Punkt C befinde
sich anfangs genau auf Punkt A und werde nun ein kleines Stückchen
auf der Parabel nach unten geschoben. Die Strecke c wird dann Anfangs
noch fast parallel zur Strecke a sein. Wir stellen uns vor, C sei so
nah an A, dass wir keinen Fehler machen, wenn wir die
Parallelität für gegeben nehmen. Aufgabe 5: Unter dieser Voraussetzung: Drücken Sie die
Länge der Strecke AD durch a' und c' aus, sowie Länge der
Strecke AB durch a und c. Was folgt daraus für die Gestalt des
Vierecks ABCD?