Wir haben nun gesehen, dass die Parabel alle achsparallelen Strahlen
im Brennpunk versammelt (bzw. dass die Winkelhalbierende zwischen
Brennstrahl und dem Lot auf die Leitgerade stets eine Tangente ist).
Gilt aber auch andersherum: Jede
Kurve, die parallele Strahlen in einen Punkt versammelt, ist eine
Parabel?
Diese Frage ist schwieriger zu lösen. Einen Ansatz (mehr nicht)
bietet folgende Überlegung: Wir stellen
uns vor, an jedem Punkt der Ebene sei ein unendlich kleiner Spiegel
angebracht, der die Strahlen, die von einer
Seite her parallel einfallen, in Richtung des Brennpunktes reflektiert.
Das Bild unten gibt einen Eindruck davon,
was gemeint ist.
Jede Kurve, die die Brennpunkteigenschaft hat, muss diese Spiegel
berühren, sich gewissermaßen durch
das Feld ihrer Richtungen hindurch bewegen. Wenn man das Bild unten
betrachtet, drängt sich auf, dass dies
nur Parabeln sein können.
Die Differentialgeometrie ist dasjenige Teilgebiet der Mathematik, in
dem derlei Fragestellungen behandelt werden.
