Leibniz
Ars Combinatoria


Teilübersetzung von Dr. W. Himmelheber


Anmerkung:

Die Übersetzung umfasst etwa ein Viertel des Textes.
Ich habe mich bemüht, zu den von Leibniz zitierten Schriften korrekte bibliographische Angaben zu machen.
Hingewiesen sei auch auf die (m.E. teilweise unrichtige) Teilübersetzung von Franz Schmid in:
G.W. Leibniz, Fragmente zur Logik. Ausgewählt, übersetzt und erläutert von Franz Schmidt. Akademieverlag, Berlin 1960.



Übersicht

...

Beweis der Existenz Gottes

...

Einleitung

Mit Gott!

1. Die Metaphysik handelt, um zuoberst zu beginnen, von den Wesenheiten und ihren Zuständen; und wie die Zustände eines natürlichen Körpers keine Körper sind, sind auch die Zustände einer Wesenheit keine Wesenheiten.

2. Eine Art von Zustand (oder Modus) einer Wesenheit ist absolut und wird Qualität genannt; ein anderer ist relativ und wird Quantität genannt, wenn in ihm die Sache auf einen Teil von sich (falls vorhanden) bezogen wird; oder er wird Relation genannt, wenn die Sache auf eine andere bezogen wird. Allerdings wäre es richtiger, zu sagen – indem man den Teil als vom Ganzen verschieden annimmt –, dass auch die Quantität eine Relation ist, in der dann die Sache auf ihren Teil bezogen wird.

3. Es ist also klar, dass weder Qualität, noch Quantität, noch Relation Wesenheiten sind, dass sie aber trotzdem auf die bezeichnete Art von der Metaphysik behandelt werden.

4. Fast jede Relation ist Vereinigung oder Übereinstimmung. Bei der Vereinigung heißen die Sachen, zwischen denen diese Relation besteht, Teile, vereinigt genommen, das Ganze. Diese Relation besteht immer dann, wenn mehrere Sachen gemeinsam als eine angesehen werden. Man begreift dasjenige als Eines, was durch einen Akt des Verstandes gleichzeitig gedacht wird, so wie wir z.B. eine beliebig große Zahl gleichsam blindlings auffassen, wenn wir die Ziffern auf einem Blatt lesen, die man nicht einmal dann auseinandergelegt auffassen könnte, wann man alt wie Methusalem würde.

5. Von Einem wird die Einheit abstrahiert, und die Gesamtheit oder das Gesamte, was aus den Einheiten abstrahiert wird, heißt Zahl. Also ist Quantität die Zahl der Teile. Daraus erhellt, dass tatsächlich Quantität und Zahl zusammenfallen, vorausgesetzt, dass die Quantität ersatzweise gewissermaßen von außen, nämlich durch die Relation oder das Verhältnis zu anderen Sachen, auseinandergelegt wird, solange die Zahl der Teile nicht bekannt ist.

6. Das ist der Ursprung der tiefgründigen Analytica speciosa (analytischen Geometrie), die zuerst Cartesius ausübte, und die sodann von Franc. Schottenius und Ersamus Bartholinus (in dessen Elementi Matheseos universalis, wie er es nennt)* in Regeln gefasst wurde. Also ist die Analysis die Lehre von den Verhältnissen und Proportionen, oder von der nicht auseinandergelegten Quantität; die Arithmetik die Lehre von der auseinandergelegten Quantität oder den Zahlen. Die Scholastiker irrten sich aber in der Annahme, dass die Zahl nur aus der Teilung des Kontinuums entstände und nicht auf unkörperliche Dinge angewandt werden könnte. Denn die Zahl ist gewissermaßen eine unkörperliche Figur, die aus der Vereinigung beliebiger Wesenheiten entsteht, z.B. von Gott, einem Engel, einem Menschen, der Bewegung, was zusammen vier sind.

* Geometria, a Renato Des Cartes anno 1637 gallice edita; postea autem una cum notis Florimondi de Beaune ... gallice conscriptis in latinam linguam versa, & commentariis illustrata, opera atque studio Francisci a Schooten ... Nunc demum ab eodem diligenter recognita; locupletionibus commentariis instructa, multisque egregiis accessionibus exornata, etc.
Enthalt außerdem u.a.: Francisci a Schooten Principia matheseos universalis ... conscripta ab Erasmio Bartholino
sowie: De aequationum natura, constitutione, & limitibus opuscula duo. Incoepta a Florimondo de Beaune ... absoluta vero, & post mortem ejus edita ab Erasmio Bartolino.
Apud Ludovicum & Danielem Elzevirios, Amstelaedami, 1659, 61. 4°.

7. Da also die Zahl etwas allerallgemeinstes ist, gehört sie zu Recht zur Metaphysik, wenn man die Metaphysik als die Lehre von dem ansieht, was allen Arten von Wesenheiten gemeinsam ist. Die Mathesis (um jetzt diesen Namen anzunehmen) ist genaugenommen nicht eine Disziplin, sondern behandelt aus verschiedenen Disziplinen diejenigen Teile abgesondert, die mit Quantität zu tun haben und die deshalb wegen ihrer Verwandtschaft zu Recht vereinigt wurden. Denn wie Arithmetik und Analysis von der Quantität der Wesenheiten handeln, handelt die Geometrie von der Quantität der Körper oder von der des Raumes, der die gleiche Ausdehnung wie diese hat. Es sei allerdings fern von uns, die öffentliche Einteilung der Disziplinen in Fächer zu zerreißen, die mehr aus der Bequemlichkeit bei der Lehre als aus der Natur der Sache folgt.

8. Es ist die Grundlage der Komplexionen, wenn es ferner möglich ist, das Ganze selbst (und so auch die Zahl oder Gesamtheit) in Teile zu zerlegen, die gewissermaßen kleinere Ganze bilden, wenn man darunter versteht, dass die verschiedenen kleineren Ganzen gemeinsame Teile haben. Z.B. wenn das Ganze ABC ist , sind die kleineren Ganzen, seine Teile, AB, BC, AC. Ferner können die kleinsten Teile, oder die als kleinste angesehen werden (die Einheiten), ihre Anordnung untereinander oder im Ganzen abwandeln. Dadurch entstehen zwei Arten von Abwandlungen: die der Komplexion und die der Lage.

9. Sowohl Komplexion als auch Lage gehören zur Metaphysik, wenn man sie für sich betrachtet, und zwar zur Lehre vom Ganzen und seinen Teilen; wenn wir freilich die Abwandelbarkeit betrachten, also die Quantität der Abwandlungen, muss man sich mit Zahlen und Arithmetik befassen. Ich glaube, die Lehre von den Komplexionen gehört mehr zur reinen, die von der Lage zur figurierten Arithmetik , wo die Einheiten als eine Linie bildend angesehen werden. Indessen will ich hier nebenbei anmerken, dass die Einheiten entweder durch eine gerade Linie dargestellt werden können, oder durch einen Kreis oder eine andere Linie, die in sich zurückläuft bzw. eine geschlossene Figur bildet. Nach der ersten Art werden sie in der Ordnung, der absoluten Lage oder der der Teile im Ganzen dargestellt, nach der zweiten in der Benachbarung, der relativen Lage oder der der Teile zueinander. Diesen Unterschied erklären wir unten in den Definitionen 4 und 5. Für diese Einleitung genügt es, wenn deutlich wird, zu welcher Disziplin der Stoff dieser Abhandlung gehört.


Definitionen

1. Abwandlung ist hier die Veränderung der Beziehung. Es gibt nämlich auch Veränderungen der Substanz, der Quantität, der Qualität. Die Abwandlung ändert nichts an der Sache selbst, sondern nur den Bezug, die Lage, die Zusammenfassung mit etwas anderem.

2. Abwandelbarkeit ist die Quantität aller Abwandlungen. Denn, abstrakt genommen, bezeichen Termini, die Fähigkeiten ausdrücken, deren Quantität. So sagt man auch in der Mechanik häufig, dass zwei Maschinen die doppelte Fähigkeit haben und umgekehrt.

3. Lage ist die Anordnung der Teile.

4. Die Lage ist entweder absolut oder relativ: die absolute Lage ist die der Teile im Ganzen, die relative Lage ist die der Teile zueinander. Bei der ersten betrachtet man die Zahl der Plätze und den Abstand vom ersten zum letzten, bei der zweiten gibt es keinen ersten und letzten, sondern man betrachtet nur den Abstand eines Teils von einem gegebenen anderen. Die erste wird nicht durch eine oder mehrere Linien dargestellt, die eine geschlossene Figur bilden oder in sich zurücklaufen, sondern am besten durch eine gerade Linie. Die zweite durch eine oder mehrere Linien, die eine geschlossen Figur bilden, am besten durch einen Kreis. Bei der ersten gibt eis ein Vorher und ein Nachher, bei der zweiten nicht. Deshalb bezeichnet man die erste am besten als Ordnung oder Anordnung,

5. die zweite als Benachbarung oder Zusammenstellung. Der Ordnung nach unterscheiden sich also folgende Lagen: abcd, bcda, cdab, dabc. Aber es besteht keine Abwandlung der Benachbarung, sondern man sieht ein, dass es einunddieselbe Lage ist, nämlich

a b c
d
. Deshalb ordnete der nette Taubmann, als er in Wittenberg Dekan der philosophischen Fakultät war, die Reihe der Magisterkandidaten auf dem öffentlichen Programm kreisförmig an, damit nicht begieríge Leser herausfänden, wer den Schweinsplatz hatte.

6. Meistens meinen wir die Abwandelbarkeit der Anordnung, wenn wir nur Abwandlungen schreiben; z.B. können vier Sachen auf 24 Weisen umgestellt werden. [Permutationen in moderner Terminologie]

7. Die Abwandelbarkeit der Zusammenstellung nennen wir Komplexionen, z.B. können 4 Sachen auf 15 verschiedene Weisen zusammengefasst werden. [in moderner Terminologie: Kombinationen zu beliebiger Anzahl von Elementen]

8. Die Zahl der Sachen, die abgewandelt werden, nennen wir Zahl der Elemente, im obigen Beispiel also 4.

9. Eine Komplexion ist die Vereinigung eines kleineren Ganzen zu einem größeren, wíe wir in der Einleitung erklärt haben.

10. Um aber eine Komplexíon genau zu bestimmen, muss man das große Ganze in gleiche Teile teilen, von denen man annimmt, dass sie die kleinsten sind (die also einstweilen nicht weiter unterteilt werden). Die Komplexion oder das kleinere Ganze setzt sích aus diesen Teilen zusammen und wird durch ihre Abwandlung abgewandelt; weil nun das kleinere Ganze selbst größer oder kleiner ist, je nachdem mehrere Teile in einem Fall vereinigt werden, nennen wir die Zahl der Teile oder Einheiten, die zugleich zu Einem zusammengefasst werden, den Exponent nach dem Vorbild der geometrischen Reihe. Es sei z.B. das Ganze ABCD. Wenn die kleineren Ganzen aus 2 Teilen bestehen sollen, also AB, AC, AD, BC, BD, CD, ist der Exponent 2, wenn aus 3 Teilen, also ABC, ABD, ACD, BCD, ist er 3.

11. Die Komplexionen zu einem gegebenen Exponenten schreiben wir so: wenn der Exponent 2 ist, Kom2nation (Kombination) wenn 3, Kon3nation (Konternation), wenn 4, Kon4nation etc.. [in moderner Terminologie: Kombinationen zu 2, 3, 4,... Elementen]

12. Komplexionen insgesamt sind alle Komplexionen, die zu jedem Exponent berechnet worden sind, z.B. 15 (von 4 Elementen), zusammengestellt aus 4 (Unionen), 6 (Kom2nationen), 4 (Kon3nationen), 1 (Kon4nation).

13. Brauchbare (unbrauchbare) Abwandlung ist eine, die wegen des zugrundeliegenden Stoffes nicht statt hat, z.B. gibt es 6 Kom2nationen der vier Elemente, aber zwei davon sind unbrauchbar, nämlich die, die aus konträren Elementen (Feuer und Wasser, Luft und Erde) kom2niert werden.

14. Eine Klasse von Elementen ist ein kleineres Ganzes, das aus Sachen als Teilen besteht, die in irgendeinem Drítten übereìnstimmen, vorausgesetzt, daß die übrigen Klassen die darin nicht übereìnstimmenden Sachen enthalten. Ein Beispiel findet sich unter Problem 3, wo wir die Klassen der Ansichten über das höchste Gut hach dem Hl.Augustin abhandeln.

15. Ein Kopf einer Abwandlung ist eine Festsetzung (Position) gewisser Teile; die Form einer Abwandlung die Festsetzung allen dessen, was in mehreren Abwandlungen gleich bleibt, siehe unten Problem 7.

16. Gemeinsame Abwandlungen sind diejenigen, in denen mehrere Köpfe zusammentreffen, siehe unten Rroblem 8 und 9.

17. Ein gleichwertiges Element ist eins, dass an einen gegebenen Platz gleich gut gesetzt werden kann, wobei díeser Bestandteil gleich bleibt. Ein einzigartiges hingegen ist eins, das keine gleichwertigen hat, siehe Problem 7.

18. Ein verfielfältigbarer Kopf ist einer, dessen Teile abgewandelt werden können.

19. Wiederholtes Element ist dasjenige, was ín einer Abwandlung mehrfach gesetzt wird, siehe Problem 6.

20.Mit + bezeichnen wir Addition, mit – Subtraktion, ∩ Multiplikation, ∪ Division, f. macht oder ist gleich, = Gleichheit*. In den beiden ersten Zeichen und im letzten stimmen wir mit Cartesíus, den Algebraikern und anderen überein; die anderen verwendet Isaak Barrowius in seiner Ausgabe des Euklid, Cantabrig. 8vo, 1675.**

* Im Folgenden durch die heute üblichen Zeichen ersetzt (d. Übs.)

** Euclidis elementorum libri xv. breviter demonstrati, opera I. Barrow. Ex Academiae Typographeos Cantabrigiae, 1655. 12°.


Probleme

...
Problem I

Bei gegebener Zahl und gegebenem Exponenten die Komplexionen finden [Kombinationen zu k Elementen aus n verschiedenen Elementen]
...
...

Tabelle ℵ

E
x
p
o
n
e
n
t
e
n
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 K
o
m
p
l
e
x
i
o
n
e
n
1 0 1 2 3 4 5 6 7n 8u 9m 10e 11r 12i
2 0 0 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66
3 0 0 0 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220
4 0 0 0 0 1 5 15 35 70 126 210 330 495
5 0 0 0 0 0 1 6 21 56 126 252 462 792
6 0 0 0 0 0 0 1 7 28 84 210 462 926
7 0 0 0 0 0 0 0 1 8 36 120 330 792
8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 45 165 495
9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10 55 220
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 66
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 12
12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
* 0 1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095
+ 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096

...

Problem II

Bei gegebener Anzahl die Komplexionen insgesamt finden
...


Anwendung von Problem 1 und 2
...

48. Soviel zum Nutzen der Komplexionen, wenn man die Arten einer Unterteilung herausfinden will; es folgt die IXte Anwendung: wie man die oberen Teile oder Gattungen und die Unterarten herausfindet, wenn die Arten einer Unterteilung gegeben sind.
Wenn die Unterteilung, deren Arten gegeben sind, eine Dichotomie ist, tritt das Problem gar nicht auf, denn diese lässt sich nicht weiter zergliedern; anders bei einer Polytomie.

49. Nehmen wir die Trichotomie, die einfachste der Polytomien. Es seien also die drei Arten einer Gattung a, b, c, Von ihnen gibt es nur eine Kon3nation in der obersten Gattung; und natürlich drei Unionen. Diese selbst bilden die untersten Arten, jene die oberste Gattung. Zwischen den Unionen und der Kon3nation bleibt nur noch die Kom2nation übrig, Von drei Elementen aber gibt es drei Kom2nationen, also entstehen drei mittlere Gattungen, nämlich diejenigen, die man von den beiden Elementen ab, ebenso bc und ac abstrahieren kann bzw. deren nächster Gattungsbegriff. Es ist aber für eine Gattung erforderlich, daß sie einerseits auf Einzeldinge zutrifft, andererseits austauschbar ist mit allen einzelnen zusammengenommen.

50. Ein Beispiel wird das verdeutlichen. Die gegebene Gattung sei die Staatsverfassung, ihre drei Arten A die Monarchie, B die polyarchische Oligarchie oder Herrschaft der Besten, C die Panarchie. Diese Begriffe scheinen angemessen, auch wenn das Wort Panarchie von Fr. Patritius* besonders in dem so betitelten Band seiner Werke, in dem er die himmlischen Hierarchien erklärt, in einem anderen Sinn gebraucht wird. Boxhornius lib. 2. c. 5. Inst. Polit.** gebraucht das Wort Polyarchie als einen Begriff, der Oligarchie und Panarchie umfasst.
Also ist 1. die Unterart, die A und B bzw. die Monarchie und die Herrschaft der Besten umfasst, die 0ligarchie. Denn entweder herrschen nicht alle (das ist die Oligarchie, in der entweder einer: Monarchie, oder mehrere: Oligarchie bzw. Polyarchie, herrschen) oder alle: Panarchie.

*Fr. Petric: Nova de universis philosophía. De Panarchia. Venedig 1593.

**Marci Zuerii Boxhornii ... Institutionum politicarum libri duo. Editio altera, priori longe emendatior. Lugduni Batavorum, apud N. Herculis, & A. a Geervliet, 1657


51.2 Die Unterart, die B und C umfasst, ist die Polyarchie, denn entweder herrscht einer (Monarchie), oder mehrere (das ist die Polyarchie, in der wiederum entweder nicht alle: oligarchische Polyarchie, oder alle: Panarche, herrschen).

52. 3. Die Unterart, die A und C umfasst ist die extreme Verfassung. Denn die eine Art der Staatsverfassung ist die mittlere (die Herrschaft der Besten, die daher auch ihren zweiteiligen Namen hat: polyarchische Oligarchie), die andere ist die extreme. Sie umfasst die Staaten, in denen entweder einer oder alle herrschen.
So haben wir für den einfachsten Fall der Polytomien, die Trichotomien, den Nutzen der Komplexionen aufgezeigt. Wieviele verschiedene Möglichkeiten wird es wohl erst bei der Einteilung der Tugenden in 11 Arten oder anderen ähnlichen Einteilungen geben? Wo es nicht nur die einzelnen Kom2nationen, sondern auch die Kon3nationen etc. bis zu den Kon10nationen gibt, sind es zusammen mit der obersten Gattung und den untersten Arten insgesamt 2047 mögliche Komplexionen oder Gattungen und Arten.

53. Denn unser Geist ist derart fruchtbar in der Abstraktion, dass er zu beliebig vielen Dingen deren Gattung, d.h. einen Begriff, der ihnen allen und außer ihnen keinem gemeinsam ist, erfinden kann. Und wenn er ihn nicht erfände, wüsste Gott ihn, erfänden ihn die Engel; also gibt es von vornherein eine Grundlage für alle derartigen Abstraktionen.

54. Auf dieser großen Zahl möglicher verschiedener Einteilungen in Unterarten beruht es, dass die Autoren bei Unterteilungen oder wenn sie Tabellen konstruieren, die hinreichen, eine gegebene Einteilung in die untersten Arten herauszufinden, alle verschiedene Wege einschlagen und doch alle zu den gleichen untersten Arten gelangen. Das versteht derjenige, der die Untersuchungen der Scholastiker über die Zahl der Kategorien, der Kardinaltugenden, der von Aristoteles aufgezählten Tugenden, der Affekte etc. liest.

55 X. Wir gelangen nunmehr von den Unterteilungen zu den Propositionen, dem zweiten Teil der Logik des Erfindens. Eine Proposition besteht aus dem Subjekt und dem Prädikat, also sind alle Propositionen Kom2nationen. Also muss die Logik des Erfindens der Propositionen folgende Probleme lösen: 1. Welche sind die Prädikate eines gegebenen Subjekts; 2. welches sind die Subjekte eines gegebenen Prädikats; jeweils bejahend und verneinend.

56. Eben dieses betrachtet Raym. Lullus in der Kabbala* Tr. 1. c. fig. 1. p. 46 (wiederholt in der Ars Magna** p. 239). Um zu zeigen, wieviele Propositionen aus seinen neun allgemeinsten Begriffen (Gutheit, Größe, Dauer etc.) entstehen, von denen er sagt, dass sei einzeln von sich prädiziert werden könnten, zeichnet er ein regelmäßiges Neuneck in einen Kreis, schreibt zu jedem Eck einen Begriff und zieht von jeder Ecke zu jeder anderen eine gerade Linie. Es gibt 36 derartige Linien, nämlich so viele, wie es Kom2nationen von 9 Elementen gibt. Da in jeder Kom2nation die Lage [Reihenfolge] auf zwei Arten abgewandelt werden kann, ergibt sich 36 · 2 = 72, die Zahl der Lullischen Propositionen. Mit diesen Komplexionen ist die Kunstfertigkeit des Lullus noch keineswegs zuende, siehe sein Buch, das in Straßburg 1598 in 8° herausgegeben wurde *** auf Seite 49, 53, 68, 135, die auf den Seiten 240, 244, 245 wiederholt werden. Ferner hat er eine Tabelle aus 84 Spalten konstruiert, deren jede 20 Komplexionen enthält, mit denen er die Kon4nationen seiner mit Buchstaben bezeichneten Regeln aufzählt; diese Tabelle findet sich auf den Seiten 260 bis 266. Eine Tabelle der Kon3nationen steht bei Henr. Corn. Agrippa: Com in artem brevem Lullii,¶ die 9 Seiten bedeckt, von Seite 863 bis 871 einschließlich. Derselbe beschreibt das meiste aus dem Lullus, aber kürzer ist Joh. Heinr. Alstedius in der Architectura Artis Lulliana¶¶, die in seinem Thesaurus Artis Memorativae enthalten ist auf Seite 47ff.

*Ars Cabbalistica seu Opusculum Raymundinum de auditu Kabbalistico sive ad omnes scientias introductorium, etc. Parisiis 1578. 16°

** Ars magna generalis ultima. Venedig 1480

*** Raymondi Lulli opera ea quae ad adinventam ab ipso artem universalem .... pertinent. Ut in eandem quorundam interpretum scripti commentarii quae omnia ... hoc demum tempore conjunctim ... emendatiora ... edita sunnt, etc. Argentinae, 1598, 8°. Spätere Auflagen Argentorati (1617 4., 1651 postrema)

¶Henricii Cornelii Agriippae ... in artem brevem Raymundi Lullij commentaria. I. Soter: Coloniae 1533 8°. I. Soter Salingiaci 1538 8°

¶¶Johann Heinrich Alsted: Clavis artis Lullianae, et verae logices ... Accessit novum speculum logices etc. Sumptibus heredium L. Zutzneri Argentorati, 1633. 8°


57. Dies sind seine einfachen Begriffe:

I. Absolute Attribute: Gutheit, Größe, Dauer, Macht, Weisheit, Wille, Tugend, Wahrheit, Ruhm.

II. Attribute der Beziehung: Unterschied, Übereinstimmung, Verschiedenheit, Anfang, Mitte, Ende, größer, gleich, kleiner.

III. Fragen: ob, was, wovon, weshalb, wieviel, wie, wann, wo, auf welche Weise (womit).

IV. Subjekte: Gott, Engel, Himmel, Mensch, Vorstellendes, Empfindendes, Pflanzliches, Elementarisches, Instrumentales.

V. Tugenden: Gerechtigkeit, Weisheit, Tapferkeit, Mäßigkeit, Glaube, Hoffnung. Liebe, Geduld, Frömmigkeit.

VI. Laster: Geiz, Gier, Verschwendung, Hochmut, mürrisches Wesen, Zorn, Lüge, Unbeständigkeit.

Ebenso bei Jan. Caecilius Frey: Via ad Scient. et art. part. XI. c. 1., der die dritte und sechste Klasse weglässt.*

*Frey, Janus Caecilius: Via ... ad divas scientias, artesque, linguarum notitiam, sermones extemporaneos, nova etc. Heidelbergae 1629. 12°

58. Da also in den einzelnen Klassen je neun Elemente enthalten sind und da es von neun Elementen 511 Komplexionen insgesamt gibt, gibt es in jeder Klasse ebensoviele Komplexionen. Wenn man dann eine Klasse auf die andere anwendet, ergibt sich nach Problem 3 511·511·511·511·511 ·511 = 17804.320388.674561, 5116. Dabei habe ich alle diejenigen Abwandlungen weggelassen, in denen derselbe Terminus wiederholt wird, ebenso die, in denen eine Klasse wiederholt wird oder mehrere Termini aus derselben Klasse genommen werden.

59. Und das sind nur die Komplexionen, man bedenke aber erst die Abwandlungen der Lage, die man auf sie anwenden muss. Ich werde hier nebenbei dieses Problem erklären:
Was ergibt sich, wenn man die Abwandlung der Lage oder die Ordnungen auf die Komplexionen anwendet, wenn gewisse Elemente gegeben sind, bzw. wie findet man alle Abwandlungen sowohl der Komplexionen oder der Materie als auch der Lage oder Form. [in moderner Terminologie: Variationen zu k Elementen aus n Elementen]
Man nimmt alle Komplexionen mit bestimmtem Exponenten aus der jeweiligen Menge (z.B. bei 4 Elementen: 4 Unionen, 6 Kom2nationen, 4 Kon3ternationen, 1 Kon4nation), dann sucht man die Zahl der Abwandlungen der Anordnung für die einzelnen Exponenten nach Problem 4 unten (z.B. 1 gibt 1, 2 gibt 2, 3 gibt 6, 4 gibt 24) und multipliziert jede mit der Zahl der Komplexionen zum jeweiligen Exponenten (z.B. 1 · 4 = 4, 2 · 6 = 12, 6 · 4 = 24, 24 · 1 = 24). Die Summe aller Produkte, die dann aus der Anwendung der Ordnung auf die Komplexionen entstanden ist, ist also das Gesuchte (z.B. 4 + 12 + 24 + 24 = 64).

60. Ich habe allerdings viel an den Begriffen des Lullus auszusetzen. Denn seine gesamte Methode zielt mehr darauf ab, aus dem Stegreif Erörterungen anzustellen, als wissenschaftlich aus einer gegebenen Sache Folgerungen zu ziehen, wenn auch nicht nach Absicht des Lullus, so doch gewiss der Lullisten. Die Zahl der Begriffe hat er nach Belieben festgelegt, daher sind in jeder Klasse neun. Warum hat er unter die absoluten Prädikate, die doch äußerst abstrakt sein müssen, den Willen, die Wahrheit, die Weisheit, die Tugend, den Ruhm gemischt, warum Schönheit, Form, Zahl weggelassen? Zu den Prädikaten der Beziehung hätte er viel mehr dazugesellen müssen, z.B. Grund, das Ganze, den Teil, das Nötige, etc. Außerdem ist größer, gleich, kleiner nichts anderes als Übereinstimmung oder Unterschied der Größe. Die ganze Klasse der Fragen gehört zu den Prädikaten: Ob etwas sei ist die Frage nach der Existenz, zu der die Dauer gehört; was, nach dem Wesen; weshalb, nach dem Grund; wovon, nach dem Objekt; wieviel, nach der Größe; wie, nach der Qualität, die zur Klasse der absoluten Prädikate gehört; wann, nach der Zeit; wo, nach dem Ort; auf welche Weise, nach der Form; womit, nach den Nebenumständen: alle sind sie Begriffe, die sich entweder auf Prädikate beziehen oder auf sie zurückgeführt werden müssen. Und weshalb hat er "wie lange" ausgelassen, etwa, weil es mit der Dauer in eins fällt? Warum hat er dann andere zugelassen, die ebenso in eins fallen; und schließlich bringt er schlimm "auf welche Weise" und "womit" durcheinander.

61. Die beiden letzten Klassen der Tugenden und Laster sind für eine so allgemeine Wissenschaft fast gänzlich unpassend. Wie unvollständig teils, teils voller Wiederholungen ist ihre Aufzählung! Zu den Tugenden zählt er erst die vier Kardinaltugenden, dann die drei theologischen, warum fügt er dann die Geduld hinzu, die doch in er Tapferkeit enthalten ist, warum die Frömmigkeit, die als Liebe zu Gott zur Liebe zählt? Doch nur, um die neun voll zu machen. Und warum zählt er nicht die Laster auf, die den Tugenden entgegengesetzt sind? Etwa, damit wir in der Tugend die entgegengesetzten Laster erkennen, und im Laster die Tugend? Aber so ergäben sich 27 Laster.
Am besten gefällt die Liste der Subjekte. Sie enthält nämlich die wichtigsten Stufen der Wesenheiten: Gott, Engel, Himmel (nach der peripathetischen Lehre ein unvergängliches Wesen), Mensch, höheres Tier (das Vorstellungsgabe hat), niederes Tier (das nur Wahrnehmung hat, wie man von den Zoophyten sagt), Pflanze. Die gemeinsame Grundform der Körper (wie sie aus der Mischung der Elemente entsteht; hierher gehört alles Unbelebte), künstliche Gegenstände (die er Werkzeuge nennt). Dies sind die Begriffe, deren Komplexionen Lullus gebraucht. Darüber urteilt der würdige Mann Petrus Gassendi in seiner Logica Epicurea T. 1*, gewiss reiflich, es sei das Werk eines besonderen Kopfes. Und eben deshalb nennt auch der Nolaner Jordan. Brunus in seiner Scrutin. praefat. p. m. 684** die Lullische Kunst zwei mal Kunst der Kombination.

* Gassendi, Pierre. Institutio Logica (in quatuor partes distributa); et philosophiae Epicuri syntagma. Londinii 1668.

**Iordanus Brunus Nolanus. De specierum scrutinio et lampade combinatoria Raymundi Lulli, etc. Pragae 1588, 8°. 2 Bände.


62. Daher kommt es meiner Meinung nach auch, dass der unsterbliche Kircher seiner schon lange angekündigten Ars magna sciendi, seu nova porta scientiarum, qua de omnibus rebus infinitis rationibus disputari, cunctorumque summaria cognitio haberi possit* den Titel Kombinatorik gibt (fast die gleiche Überschrift gab Petr. Gregor. Tholosanus seiner Syntax artis mirabilis**) Ich hoffe nur das eine, das dieser Mann, der an Geist viel höher als Lullus oder Tholosanus steht, zum Innersten der Sache vordringe und vollende, was wir entwarfen, dessen Grundlinien wir gezogen haben und was wir für wünschenswert erkannten, was man bei seiner glücklichen Hand in der Erleuchtung der Wissenschaften doch immerhin erhoffen kann. Und in der Tat haben wir uns diese Schrift nicht so sehr deshalb vorgenommen, um die Arithmetik zu befördern (auch wenn wir das ebenfalls taten), als um die Quellen der Logik des Erfindens aufzuschließen, wobei wir die Aufgabe eines Herolds flohen, und wir würden, wie der Verulamer mit dem Katalog der von ihm vermehrten wünschenswerten Wissenschaften, genug geleistet haben, wenn wir in den Menschen die Ahnung einer so großen Kunst erregten, die dann ein anderer mit unglaublichem Nutzen für die Menschheit begründen könnte.

*A. Kircherii ... Ars magna sciendi in XII libros digesta; qua nova et universali methodo per artificiosum combinationum contextum de omni re proposita plurimis et prope infinitis rationibus diputari, omniumque summaria quaedam cognitio comparari potest. Amstelodami, 1669. 1°. 2 Bände.

** Gregoire Piere Tholosain. Syntaxeon artis mirabilis in libros XL digestarum tomi duo. Per quas de omni re proposita ... cognitio haberi potest. Sumptibus Lazari Zetzneri Coloniae, 1610. 8°


63. Deshalb haben wir endlich die Grundlinien der Komplikationskunst (wenn man nämlich will, ist jede Komplikation eine Kombination) gelegt, wie wir meinten, sie einrichten zu müssen.
Th. Hobbes, der höchst verdiente Erforscher der Prinzipien aller Dinge, hat ganz richtig behauptet, dass alle Tätigkeit unseres Geistes Berechnung sei und dass er durch Addieren die Summe und durch Subtrahieren die Differenz berechne, Elem. de Corp. p.1. c.1. art. 2.* Genauso wie also die Arithmetiker und Analytiker zwei Grundzeichen haben, + und -, so gibt es sozusagen auch zwei Kopulae, nämlich ist und ist nicht. Mit jenem nimmt der Geist zusammen, mit diesem teilt er. In diesem Sinne ist also eigentlich das "ist" nicht die Kopula, sondern ein Teil des Prädikats. Es gibt vielmehr zwei Kopulae, eine mit "nicht" bezeichnet, während die andere unbezeichnet im "ist" enthalten ist., wenn diesem kein "nicht" nachsteht, weshalb es kommt, dass das "ist" für die Kopula selbst gehalten wird. Mann kann ersatzweise das Wort "wirklich" anwenden, z.B. der Mensch ist wirklich ein Lebewesen, der Mensch ist nicht ein Stein. Aber dies nur am Rande.

* Elementorum philosophiae sectio prima. De corpore. Authore Thoma Hobbes, Malmesburiensi. Londini, Excusum sumptibus Andreae Crook ... 1655

64. Damit feststeht, woraus alles besteht, muss man sodann die Analyse (wie als Materie) anwenden, um die Kategorien dieser Kunst zu begründen. Dies ist die Analyse:

  1. Jeder gegebene Terminus wird in seine formalen Teile zergliedert, das heißt, seine Definition wird gegeben; die Teile werden wiederum zergliedert bzw. die Definitionen der Termini der Definition gegeben, bis zu den einfachen Teilen oder undefinierbaren Termini. Denn οὐ δεῖ παντὸς ὅρον ζητεῖν *; jene letzten Termini werden nicht durch weitere Definitionen, sondern durch Analogie verstanden.

    * Aristoteles, Anal. post. I 22, 84a31; Met. aZ: 994b 16 und G 3, 1006a 8

  2. 2. Die gefunden primären Termini werden zu einer Klasse zusammengefasst und mit irgendwelchen Zeichen bezeichnet, am einfachsten numeriert.
  3. 3. Zur Klasse der primären Termini gehören nicht nur Dinge, sondern auch Verhältnisse oder Beziehungen.
  4. 4. Da sich alle abgeleiteten Termini in ihrer Entfernung von den primären unterscheiden, je nachdem, aus wie vielen der primären Termini sie gebildet sind, bzw. wie hoch der Exponent der Komplexion ist, muss man daher so viele Klassen bilden, wie es Exponenten gibt, und in jeder diejenigen Termini zusammenfassen, die aus der gleichen Zahl primärer Termini gebildet sind.
  5. 5. Die Termini, die durch Kom2nation entstehen, können nicht anders notiert werden als dadurch, dass man die primären Termini schreibt, aus denen sie bestehen, und weil die primären Termini mit Zahlen bezeichnet sind, schreibt man die zwei Zahlen, die die Termini bezeichnen.
  6. 6. Aber die Termini, die durch Kon3nation abgeleitet werden oder durch eine Komplexion zu einem höheren Exponenten, also die Termini, die zur dritten und den folgenden Klassen gehören, können jeweils auf so viele Arten notiert werden, wieviel Komplexionen insgesamt ihr Exponent hat, wenn man ihn nicht mehr als Exponenten betrachtet, sondern als Zahl der Elemente*. Der Grund hierfür findet sich in der IXten Anwendung. Es seien z.B. die primären Termini mit den Zahlen 3, 6, 7, 9 bezeichnet; ferner sei ein Terminus in der dritten Klasse bzw. durch Kon3nation abgeleitet worden, und zwar aus den drei einfachen Termini 3, 6, 9, und es seien in der zweiten Klasse folgende Kom2nationen enthalten: 1.) 3.6; 2.) 3.7; 3.) 3.9; 4.) 6.7; 5.) 6.9; 6. 7.9, dann kann man jenen gegebenen Terminus der dritten Klasse entweder so schreiben: 3.6.9, um lauter einfache Bestandteile auszudrücken, oder, um einen einfachen und anstelle der beiden übrigen einfachen ihre Kom2nation auszudrücken, so: ½.9 oder 3/2.6 oder 5/2.3. Was diese Quasibrüche meinen, wird bald erläutert werden. Je weiter aber eine Klasse von der ersten entfernt ist, desto mehr Abwandlungen gibt es. Denn immer sind die Termini der vorhergehenden Klasse gleichsam Unterarten für einige der Termini der folgenden Abwandlung.

    * Hier irrt Leibniz; der gleiche Fehler nochmals unten Absatz 81. Statt dessen die Bellschen Zahlen 1, 2, 5, 15, 52, ... (Anm. des Übersetzers)

  7. 7. So oft ein abgeleiteter Terminus außerhalb seiner Klasse angeführt wird, wir er in der Bruchschreibweise notiert, in der die obere Zahl oder der Zähler den Platz in der Klasse bezeichnet, die untere oder der Nenner die Nummer der Klasse.
    8. Es ist bequemer, wegen ihrer Menge nicht alle primären Termini zu notieren, wenn man abgeleitete Termini angibt, sondern man notiert mittlere Termini, und zwar diejenigen, die einem, der über die Sache nachdenkt, am ehesten in den Sinn kommen. Freilich ist es gründlicher, alle primären Termini anzugeben.
  8. 9. Bei den so gebildeten Begriffen kann man alle Subjekte und alle Prädikate herausfinden, sowohl die bejahenden wie die verneinenden, die allgemeinen wie die besonderen. Denn die Prädikate eines gegebenen Subjekts sind alle seine primären Termini, außerdem alle abgeleiteten Termini, die den primären näherstehen und deren primäre Termini alle in dem gegebenen Terminus enthalten sind. Wenn also ein gegebener Terminus, der Subjekt sein muss, aus seinen primären Termini notiert wird, ist es leicht, diejenigen primären, die von ihm prädiziert werden, herauszufinden, und man kann auch die abgeleiteten Termini herausfinden, wenn in der Einteilung der Komplexionen Ordnung herrscht. Wenn der gegebene Terminus aber aus anderen abgeleiteten Termini oder teils aus abgeleiteten, teils aus einfachen notiert wird, wird alles, was von einem seiner abgeleiteten Teile prädiziert wird, auch von ihm prädiziert. Dies sind alles Prädikate von weiterem Umfang als ihr Subjekt; ein Prädikat hat dann den gleichen Umfang wie das Subjekt, wenn es die Definition des Terminus ist. Das ist dann der Fall, wenn entweder alle seine primären Termini zugleich von dem gegebenen Terminus prädiziert werden, oder abgeleitete Termini (oder abgeleitete mit primären gemischt), in denen alle diese primären Termini enthalten sind. Also gibt es so viele Prädikate, auf wie viele Weisen nach dem oben gesagten ein Terminus notiert werden kann.

72. Hiernach wird es leicht sein, die Zahl aller Prädikate anzugeben, die von jedem gegebenen Subjekt ausgesagt werden können, bzw. alle allgemeinen bejahenden Propositionen von diesem Subjekt, und zwar in jeder einzelnen Klasse von der ersten bis zu der des gegebenen Subjekts einschließlich. Man setzt die Zahlen, die die Klassen bezeichnen (also die Exponenten) der Reihe nach, z.B. 1 (für die erste Klasse), 2 (die zweite), 3, 4, etc. Dann sucht man die Zahlen der Komplexionen zu bestimmten Exponenten von der Zahl der höchsten Klasse (aus der der gegebene Terminus stammt) in diesem Beispiel also von 4 Elementen, wovon es 15 Komplexionen insgesamt gibt, 4 Unionen, 6 Kom2nationen, 4 Kon3nationen, 1 Kom4nation. Die Zahlen der Komplexionen insgesamt von den einzelnen Klassen multipliziert man mit den Zahlen der Komplexionen zu bestimmten Exponenten der letzten Klasse, die den selben Exponenten haben wie die Nummer der zugehörigen Klasse, also im Beispiel 1·4 = 4, 3·6 = 18, 7·4 = 28, 15·1 = 15. Die Summe aller Produkte ist die Zahl aller Prädikate des gegebenen Subjekts und also auch der allgemeinen bejahenden Propositionen, hier 4 + 18 + 28 + 15 = 65.

73. Prädikate für bejahende besondere Propositionen oder die Zahl der bejahenden besonderen Propositionen berechnet sich so: man sucht, wie oben angegeben, die allgemeinen bejahenden Prädikate des gegebenen Terminus und die allgemeinen bejahenden Subjekte wie im folgenden angegeben; beide Zahlen werden addiert, weil aus jeder allgemeinen bejahenden Propositionen eine bejahende besondere entsteht, entweder einfach durch Umwandlung oder durch Subalternation; das Ergebnis ist, was gesucht war.

74. Die Subjekte für eine allgemeine bejahte Proposition zu einem gegebenen Terminus sind zum einen alle diejenigen abgeleiteten Termini, in denen der gegebene Terminus ganz enthalten ist, die es nur in den folgenden Klassen gibt. Dadurch entstehen Subjekte von engerem Umfang. Zum anderen sind es alle abgeleiteten Termini, die die gleichen einfachen Termini wie der gegeben enthalten, mit einem Wort, die Definitionen dieses Terminus bzw. die Abwandlungen seiner Notation sind für ihn wechselweise die Subjekte gleichen Umfangs.

75. Die Zahl der Subjekte berechnet sich so: Man findet die Zahl aller Klassen heraus. Diese Zahl ist gleich der Zahl der primären Termini der ersten Klasse; sind z.B. in der ersten Klaase 5 Termini, so gibt es insgesamt 5 Klassen, nämlich in der ersten die Unionen, in der zweiten die Kom2nationenn, in der dritten die Kon3nationen, in der vierten die Kon4nationen, der fünften die Kon5nationen. So hat man auch die Zahl der höheren Klassen herausgefunden, indem man die Zahl der Klasse des gegebenen Terminus. z.B. 2, von der Zahl der Klassen insgesamt 5 abzieht (bleibt 3). Wenn wir die Zahl der Klassen bzw. der primären Termini als Zahl der Elemente nehmen und die Nummer einer Klasse als Exponent, dann ist die Zahl der Termini in eben dieser Klasse gleich der Zahl der Komplexionen zu diesem Exponenten von dieser Elementenzahl, also z.B. gibt es von 5 Elementen 5 Unionen, 10 Kom2.3nationen, 5 Kon4nationen, 1 Kon5nation; genauso viele Termini gibt es in den einzelnen Klassen, die den verschiedenen Exponenten entsprechen, unter der Voraussetzung, dass es 5 primäre Termini gibt. Ferner entspricht ein Terminus, dessen Subjekte gesucht werden, einem festen Bestandteil der Komplexionen; die Subjekte von engerem Umfang den Komplexionen, bei denen der feste Bestandteil vorgegeben ist. Also werden wir die Subjekte von engerem Umfang zu einem gegebenen Terminus dann herausfinden, wenn wir folgendes Problem lösen können:

76. Wie viele Komplexionen, von denen ein Kopf vorgegeben ist, gibt es, und zwar 1. insgesamt (so finden wir alle Subjekte von engerem Umfang), 2. mit bestimmtem Exponent (so finden wir so viele, wie es in den einzelnen Klassen gibt).
Dieses Problem werden wir gleich vorderhand lösen, wo sein Nutzen gerade deutlich ist, um es nicht abgesondert zu behandeln und keinen Mangel an neuen Beispielen zu haben. Dies ist also die Lösung:
Man zieht von der Zahl der Elemente, z.B. 5: a, b, c, d, e den Exponenten des gegebenen Kopfes ab, z.B. ab, 5–2=3, oder a, 5–1=4. Wir nehmen an, dass der gegebenen Kopf eine Union oder eine Kombination ist; denn er muss eine Komplexion sein. Eine Proposition wird ebenfalls vom Exponenten abgezogen, davon wiederum der Exponent des gegebenen Kopfes. Wenn man also herausbringen will, wie oft ein gegebener Kopf unter den Komplexionen mit bestimmtem Exponenten auftaucht, muss man in der Tabelle ℵ Probl. 1 die Zahl der Komplexionen zu diesem Exponenten, vermindert um den Exponenten des gegebenen Kopfes von einer Zahl von Elementen, die um die gleiche Zahl vermindert wurden, nachsehen und erhält die gesuchte Zahl. Wenn man aber die Zahl der Komplexionen mit gegebenem Kopf insgesamt aus der Zahl der Komplexionen zu jedem Exponenten von der gegebenen Elementenzahl herausfinden will, ist die Zahl der Komplexionen insgesamt von einer Zahl von Elementen, die um den Exponenten des gegebenen Kopfes kleiner ist als die gegebene Zahl, die gesuchte.

77. Z.B. bei 5 Elementen a, b , c, d, e findet sich der gegebene Kopf a bei den Unionen in 1 Fall (kon0ation von 4), der gegebene Kopf ab in 0 Fällen (sozusagen die Kon-sub-0-ation von 3); bei den Kom2nationen a in 4 Fällen (Unionen von 4), ab in 1 Fall (Kon0ation von 3); bei den Kon3nationen a in 6 (Kom2nation von 4), ab 3 (Unionen von 3); bei den Kon4nationen a 4 (Kon3nation von 4), ab 3 (Kon2nation von 3); bei den Kon5nationen beidemale in 1 Fall (a Kon4nationen von 4, ab Kon3nationen von 3). Dies sind die Komplexionen zu gegebenem Exponenten. Die Zahl der Komplexionen insgesamt ergibt sich daraus durch Addition oder aber folgendermaßen: Unter allen Komplexionen insgesamt von 5 Elementen (das sind 31) findet sich a in 15 Fällen (Komplexionen insgesamt von 4), ab in 7 (Komplexionen insgesamt von 3).

78. Diese Komplexionen bilden die Zahl der Subjekte von engerem Umfang zu einem gegebenen Terminus. Die Subjekte von gleichem Umfang, wenn Definitionen einander untergeordnet werden, werden auf die gleiche Weise berechnet wie oben die Prädikate gleichen Umfangs. Denn Termini gleichen Umfangs können bei gleichbleibender Quantität und Qualität umgewandelt werden, also entstehen aus Prädikaten Subjekte und umgekehrt; Prädikate gibt es aber soviel, wie Komplexionen insgesamt aus den primären Termini des gegebenen Terminus (dessen Subjekt gesucht wird) gebildet werden können, z.B. aus a 1, aus ab 2. Durch Addition der Subjekte gleichen Umfangs zu denen geringeren Umfangs (1 + 15 = 16, 2 + 7 = 9) erhält man die Zahl aller Subjekte zu einem gegebenen Terminus, wonach wir gesucht hatten.

79. Soweit zu den allgemeinen Subjekten, es bleiben noch die besonderen. Davon gibt es ebensoviele wie besondere Prädikate. Die verneinten Prädikate und Subjekte findet man so: man berechnet aus den gewissen gegebenen primären Termini (gleichsam als aus der Zahl aller Elemente) die Zahl sowohl der primären als auch der abgeleiteten Termini (als Zahl der Komplexionen insgesamt) z.B. bei 5 primären Termini sind es 31; vom Ergebnis zieht man alle bejahenden allgemeinen Prädikate und alle bejahenden allgemeinen Subjekte von geringerem Umfang ab: der Rest werden alle verneinenden Prädikate sein. Für die Subjekte umgekehrt. Die besonderen verneinten werden aus den allgemeinen berechnet, wie wir oben die besonderen bejahenden aus den allgemeinen bejahenden berechneten. Wir haben allerdings die allgemeinen bejahenden identischen Propositionen ausgelassen, von denen es ebenso viele gibt, wie Komplexionen überhaupt von den primären Termini, also ebenso viele, wie primäre und abgeleitete Termini zusammen, weil jeder (primäre oder abgeleitete) Terminus von sich selbst ausgesagt wird. Außerdem haben wir die Komplexionen weggelassen, in denen ein Terminus wiederholt wird, weil durch diese Wiederholung bei einigen unendliche Abwandlung bewirkt wird, wie bei den Zahlen oder den geometrischen Figuren.

80. Auf folgende Art und Weise nun kann man Argumente finden: es sei ein beliebiger Terminus als Subjekt A gegeben, ein anderer beliebiger als Prädikat B, und es wird ein Mittelbegriff gesucht: Er muss ein Prädikat für das Subjekt A und ein Subjekt für das Prädikat B sein, also ein Terminus, der A enthält und in B enthalten ist. Man sagt, ein Terminus enthalte einen anderen, wenn alle primären Termini des zweiten im ersten enthalten sind. Ein Beweis ist dann gründlich, wenn beide Termini in ihre primären Termini aufgelöst werden, wodurch deutlich wird, ob der eine ein Teil des anderen ist oder sie aus gleichen Teilen bestehen. Die Zahl der Mittelbegriffe finden wir so: Das Subjekt und das Prädikat sind entweder in der gleichen Klasse oder in verschiedenen. Im ersten Fall müssen beide abgeleitete Termini, und dabei nur verschiedene Notationen oder Definitionen des selben Terminus sein; es können also zwei Definitionen des selben Terminus nur durch eine dritte von sich wechselweise anerkannt werden. Also muss man von der Zahl der Definitionen eines abgeleiteten Terminus, die wir oben in Absatz 69 erforscht haben, 2 abziehen, der Rest ist die Zahl möglicher Mittelbegriffe zwischen Termini gleichen Umfangs.

81. Im zweiten Fall wird das Prädikat in der Klasse mit kleinerem Exponenten, das Subjekt in der mit größerem Exponenten sein. Man nimmt das Prädikat als Kopf für alle Komplexionen, den Exponenten der Klasse des Subjekts als Zahl der Elemente. Man sucht alle Komplexionen mit dem gegebenen Kopf in den einzelnen Klassen von der des Prädikats bis zu der des Subjekts einschließlich; in den einzelnen Klassen werden die Komplexionen zu dem jeweiligen Exponenten, die den gegebenen Kopf enthalten, auf die Komplexionen insgesamt von so vielen Elementen, wie der Exponent der jeweiligen Klasse, angewandt. Die Summe aller Produkte ist das Gesuchte.

82. Dass ein verneinendes Prädikat einem Subjekt zukommt, findet man leicht heraus, wenn man beide in die primären Termini zerlegt und es sich zeigt, dass keiner im anderen enthalten ist. Also kann man die verneinten Propositionen so beweisen: Man findet alle Prädikate des Subjekts heraus. Weil das Prädikat der Proposition ihnen allen verneint zukommt, gibt es ebenso viele Mittelbegriffe für den Beweis der verneinten Proposition. Man sucht alle Subjekte des Prädikats. Da sie alle dem Subjekt der Proposition verneint zukommen, gibt es auch hier so viele Mittelbegriffe für den Beweis der verneinten Proposition. Nachdem man also beide berechnet hat, hat man die Zahl der Mittelbegriffe zum Beweis einer verneinten Proposition.

83. Zuletzt muss noch erwähnt werden, dass diese ganze Kunst der Komplikationen auf Theoreme oder Propositionen von ewiger Wahrheit abzielt, die nicht nach dem Willen Gottes, sondern seiner Natur nach feststehen. Alle einzelnen Propositionen hingegen sind entweder sozusagen historisch, z.B. Augustus war ein römischer Kaiser, oder Beobachtungen, das heißt allgemeine Propositionen, deren Wahrheit aber nicht auf der Essenz, sondern auf der Existenz beruht, die also gleichsam durch Zufall oder Gottes Willen wahr sind, z.B. alle erwachsenen Europäer haben Kenntnis von Gott. Diese lassen sich nicht beweisen, sondern nur induktiv aufzeigen, abgesehen davon, dass manchmal eine Beobachtung durch eine andere Beobachtung mit Dazwischenkunft von Theoremen erklärt werden kann.

84. Zu den Beobachtungen zählen insbesondere Propositionen, die nicht zu einer allgemeinen konvers oder ihr untergeordnet sind. Hierdurch wird auch deutlich, in welchem Sinne man sagt, einzelne Propositionen ließen sich nicht beweisen, und warum der tiefsinnige Aristoteles den Argumenten Orte in der Topik anwies, wo die Propositionen zufällig sind und die Argumente wahrscheinlich, während die Beweise einen Ort haben: die Definition. Denn wenn von einer Sache etwas ausgesagt werden soll, was nicht aus ihrer Natur folgt, z.B. dass Christus gerade in Bethlehem geboren wurde, wird niemand durch Definitionen dahin gelangen, sondern der Inhalt [materia] wird durch Erzählungen, die Orte durch die Erinnerung gegeben. Das ist auch der Ursprung der Orte der Topik, und wir würden es bei einigen der Maximen, die zu den grundlegendsten gehören, aufzeigen, wenn wir nicht fürchteten, im Verlauf der Erörterung von der Begierde, alles zu erklären, hingerissen zu werden.

85. Wir werden wenigstens mit einem Wort anzeigen, dass alles aus der metaphysischen Lehre von den Beziehungen der Wesenheiten zueinander herzuleiten sei, wie aus gewissen Arten der Beziehungen der Orte, hingegen aus Theoremen über Einzelnes die Maximen gebildet werden. Ich glaube, dass Joh. Henr. Bisterfeld, der gründlicher ist als die meisten Kompendiographen, dies in seinem Phosphorus Catholicus seu Epitome artis meditandi ed. Lugd. Bat. anno 1657*, gesehen hat, wo die ganze Topik aus der allgemeinen Durchdringung und dem Umgreifen aller in allem (so nennt er es) sowie der Ähnlichkeit und Unähnlichkeit aller mit allen begründet wird. Das Prinzip dieser Erklärung beruht nur auf Relationen. Wer dieses Buch gelesen hat, kennt den Nutzen der Kunst der Komplikationen aufs Beste.

*Johannis Henrici Bisterfeldii ... Elementorum logicorum libri tres ... Accedit ejusdem authoris Phosphorus catholicus, seu Artis meditandi epitome, cui subjunctum est consilium de studiis feliciter instituendis. Lugduni Batavorum, H. Verbiest, 1687. 12°.

86. Jener geistvolle Mann, den wir jetzt schon oft erwähnten, Joh. Hospinianus, hat ein Buch über die Fähigkeiten, zu erfinden und zu urteilen, angekündigt, in dem er die Lehre von der Topik verbessert hat. Er zählt 180 Orte und 2796 Maximen, siehe controvers. dial. p. 442*. Deshalb halte ich es für eine Einbuße, dass dieses Prachtstück der Logik nie herausgegeben wurde. Wir wenden uns hiervon ab, um zuerst eine gewisse Kostprobe der Anwendung der Kunst der Komplikationen zu geben.

*Joh. Hospiniani ... der Controversiis dialecticis liber ... (Edidit Christianus Vursticus). Basileae, per S. Henricipetri, 1576. 8°

87. Die Mathematik scheint sich am besten für einen Stehgreifversuch zu eignen: Hier müssen wir nicht mit den ersten Termini überhaupt beginnen, sondern den ersten der Mathematik; und wir müssen nicht alle angeben, sondern nur die, die wir für ausreichend erachten, durch Komplikation die gebräuchlichsten abgeleiteten Termini zu bilden. Wir hätten mit dieser Methode alle Definitionen aus den Elementen des Euklid darstellen können, wenn die Zeit gereicht hätte. Weil wir nicht von den ersten Termini überhaupt ausgingen, war es hier nötig, Zeichen zu gebrauchen, durch die die Kasus der Wörter angezeigt werden sowie das übrige, das zur Vervollständigung der Ausdrücke notwendig ist. Wenn wir freilich mit den ersten Termini überhaupt begonnen hätten, hätten wir statt jener Abwandlungen der Kasus diejenigen Termini gesetzt, wie sie gemäß der Erläuterungen von Jul. Caesar Scaliger in seinem lib. de caus. 1.1* aus Beziehungen und aus der Metaphysik gebildet werden. Wir haben hier die bestimmten Artikel benutzt. Die Mehrzahl wird in () bezeichnet, mit 15 wenn sie unbestimmt ist, mit 2, 3 etc., wenn sie bestimmt ist.

* J. C. Scaligeri de Causis Linguae Latinae libri tredecim. Apud Seb. Gryphium, Lugduni 1540. 4°


88. Dies sind die primären Termini der Klasse I:

1. Punkt, 2. Raum, 3. zwischen, 4. anliegend oder zusammenhängend, 5. auseinandergelegen oder entfernt, 6. Endpunkt oder was entfernt ist, 7. darinnengelegen, 8. eingeschlossen (z.B. der Mittelpunkt ist im Kreis darinnengelegen, vom Umfang eingeschlossen), 9. Teil, 10. Ganzes, 11. gleich, 12. verschieden, 13. Eins, 14. Zahl, 15. Mehrere, z.B. 1, 2, 3 etc., 16. Abstand, 17. möglich, 18. alles, 19. gegebenes, 20. wird, 21. Gebiet, 22. Dimension, 23. Länge, 24. Breite, 25. Höhe, 26. gemeinsam, 27. Fortsetzung.
  1. Klasse: 1. Quantität ist 14 der 9(15); 2. Einschließendes ist 6.10.
  2. Klasse: 1. Zwischenraum ist 2.3.10; 2. das gleiche wie A ist 11 an ½; 3. Zusammenhang von A und B ist, wenn ein 9 von A 4 und 7 dem B ist.
  3. 1. größer ist A, das einen 9 hat 2/3 dem B; 2. kleiner, B 2/3 dem 9 des A; 3. Linie 1/3 von 1(2); 4. Parallele 1/3 im 16; 5. Figur eine 24.8 von 18.21.
  4. 1. Wachsend, was 20.¼; 2. abnehmend, was 20.2/4; 3. darinnenliegend ist 3/3 in der 11.22; 4. schneidend ist 3/3 in der 12.22. *
  5. 1. Zusammenlaufend 2/5 in der 16; 2. auseinanderlaufend 2/5 in der 16.
  6. 1. Oberfläche 1/3 der ¾(15); 2. Unendlich ¼ als 18.19.17; 3. Peripherie ¾.13.2/2; 4. A heißt Maß oder misst B, wenn 10 von A(15) 2/3 ist 2/3 dem B.
  7. 1. Das Größte ist ¼ nicht 2/4; 2. das Kleinste ist 2/4 nicht ¼; 3. gerade Strecke ¾.2/3 dem 16 der 6(2); 4. Kurve, was nicht so ist; 5. Bogen 9 des 3/7.
  8. 1. Umfang ist 1/7.2/2.
  9. 1. Kommensurabel sind deren 4/7.26 ist nach 1 und 2.
  10. 1. Ein Winkel ist, was von ¾(2).4.2/6 gebildet wird.
  11. 1. Ebene Fläche ist 1/7.2/3 dem 16 der 6.
  12. 1. Wölbung ist 1/7.¼ dem 16 der 6.
  13. 1. Vieleck ist 5/4 dessen 2/2 sind 3/8(15); 2. die Seiten heißen; 3. wenn 3/8(3), Dreieck; 4. wenn 3/8 (4), Viereck etc.
  14. 1. Ein Möndchen ist 1/3 der 5/8(2), die nicht 1/3.4(2) [ich meine hier sowohl das gewölbte Möndchen, in dem die Bögen einander ihre konkave Seite zuwenden, als auch das sichelförmige, wo sich die konvexe Seite des einen im Inneren der konkaven des anderen befindet.]
  15. 1. Rechter Winkel ¼.2/3 in 18.21; 2. Segment ist 3 dem 2/2 und der 3/8.7 der 5/4.
  16. 1. Ein gleichseitiges Vieleck ist 5/4 dessen 2/2 ist von 3/8(15).2/3(15); 2. Ein gleichschenkliges Dreieck ist 5/4 dessen 2/2 ist von 3/8(3).2/3(2); 3. Ein Skalenum ist 5/4 dessen 2/2 ist von 3/8(3) nicht 2/3(3);
  17. 1. Berührungswinkel wird gebildet aus ¾(2).4.2/6 nicht 4/5.27 bloß 17.
  18. 1. Einbeschrieben ist 4/5.7, deren 1/11(15) sind 4 dem 2/2; 2. Umbeschrieben ist die Figur, der eine einbeschrieben ist.
  19. 1. Stumpfer Winkel ist ¼ als 1/16; 2. Spitzer Winkel ist 2/4 als 1/16;
  20. 1. Durchmesser ist 3/8.1/8.7 in der 5/4.
  21. 1. Kreis ist 1/12.8 von 18.21, das in 18.6 den 16.2/3 von einem 19 beliebigen 1 (der Mittelpunkt heißt) hat; 2. rechtwinkliges Dreieck ist 5/4, das 1/11(3) hat, aber 13 ist 2/3 in 18.21.
  22. 1. Mittelpunkt einer Figur ist 1.26 den 1/21(15).
  23. 1. Eine gegebene Halbfigur, z.B. Halbkreis etc., ist 3 dem 1/22 und (der Hälfte) des 2/2.

Aus diesen Ausdrücken kann man leicht die Definitionen ablesen, wenn man beachtet, was wir in Absatz 70 über die Bruchnotation gesagt haben: der Nenner bezeichnet die Zahl der Klasse, der Zähler die Zahl des Terminus in der Klasse. Z.B. der Mittelpunkt ist 1 (ein Punkt) 26 (gemeinsam) den 1/21 (Durchmessern) (15) (mehreren). Der Durchmesser ist 3/8 (eine gerade Strecke) 1/8 (die größte) 7 (darinnengelegen) in der 5/4 (Figur).

*vermutlicher Druckfehler im lateinischen Text; dort: 3/2 in der 12.22.


89. Aus diesen Darlegungen über die Kunst der Komplexion in den Wissenschaften und über die Logik der Erfindung, deren Kategorien durch ein Tafel derartiger Termini gleichsam vollendet würden, fließt wie ein Korollar als IXte Anwendung die Universalschrift, die jeder verstehen kann, der sie liest, egal, welche Sprache er beherrscht. Eine solche Schrift haben bereits mehrere Gelehrte versucht; der fleißige Kaspar Schottus erwähnt in lib. 7. Techn. Curios.* die folgenden: Zuerst einen gewissen Spanier, der im Jahre 1653 in Rom war und von Kenelm Digbaeus tr. de nat. corp. c. 28 n. 8** erwähnt wird. Folgendes war seine ziemlich geschickt aus der Natur der Dinge abgeleitete Methode: Er unterteilte die Dinge in verschiedene Klassen, in deren jeder eine gewisse Anzahl von Dingen war. So schrieb er mit bloßen Zahlen, indem er die Zahl der Klasse und die des Dinges in der Klasse anführte und zusätzlich noch Zeichen für die grammatikalische und orthographische Beugung anwandte. Die gleiche Methode wäre mit den von uns vorgeschriebenen Klassen gründlicher, weil ihre Einteilung die grundlegendere ist. Ferner erwähnt er den Athanasius Kircher, der seine Polygraphia nova et universalis*** zweimal angekündigt hat, sodann den Joh. Joachimus Becherus, Archiatrum Moguntinum¶, erste Ausgabe lateinisch in Frankfurt, dann deutsch 1661; nach seiner Methode ist es erforderlich, dass ein lateinisches Lexikon als Grundlage verfasst wird, in dem die Wörter rein alphabetisch angeordnet und numeriert werden. Dann müssten Lexika verfasst werden, in denen die Wörter der einzelnen Sprachen nicht alphabetisch, sondern in der Reihenfolge angeordnet sind, in der die entsprechenden lateinischen stehen. Man schreibt also, was von allen verstanden werden soll, mit Zahlen, und wer es lesen will, schaut im Lexikon seiner Muttersprache das mit der Zahl bezeichnete Wort nach und übersetzt es so. Es genügt also, dass der, der liest, seine Muttersprache kann und in deren Lexikon nachschlägt; der, der schreibt, muss seine Muttersprache und lateinisch können und in beiden Lexika nachschlagen (es sei denn, er hätte ein alphabetisches Lexikon seiner Muttersprache, das die Zahlen anführt). Zwar ist die Technik des Spaniers und die von Becher naheliegend; dennoch lassen sie sich nicht anwenden, und zwar wegen der Synonyme, der Mehrdeutigkeit mancher Wörter, wegen der Mühe des ständigen Nachschlagens (weil nie jemand alle Zahlen behalten wird) und wegen der Verschiedenartigkeit der Satzbildung in den Sprachen.

* P. Gasparis Schotti ... Technica curiosa, sive Mirabilis Artis libris XII. comprehensa, ... cum figuris etc. Norimbergae 1664. 4°

**Sir Kenelm Digyby: Two treatises. In the one of which, the nature of bodies; in the other, the nature of man's soul; is looked into, etc. Gilles Blaizot, Paris 1644.

***Athanasii Kircheri ... Polygraphia nova et universalis ex combinatoria arte delecta etc. Romae, ex typ. Varesii, 1663. 1°.

¶Joh. J. Becheri ... Character pro notitia linguarum universali. Inventum stenographicum quo quislibet suam legendo vernaculam diversas uno omnes linguas, unius diei informatione, explicare ac intellegere potest. Sumpt. J. W. Ammonii & W. Serlini: Francofurti 1661. 8°.


90. Sobald aber Tabellen oder Kategorien unserer Kunst der Komplexion ausgearbeitet sind, zeigt sich eine bessere Technik. Denn die primären Termini, durch deren Komplexion alle anderen gebildet werden, würden mit Zeichen bezeichnet werden, die dann gewissermaßen ein Alphabet bildeten. Zur größeren Bequemlichkeit wird man die Zeichen auf möglichst natürliche Art bilden, z. B. für Eins einen Punkt, für Zahlen mehrere Punkte, für die Beziehung verschiedener Wesenheiten zueinander Linien, für die Abwandlung der Beziehungen Arten von Winkeln oder Endpunkte in Linien. Wenn diese Zeichen richtig und durchdacht festgelegt sein werden, wird diese Universalschrift so einfach wie allgemein sein. Man wird sie ohne Lexikon lesen können und wird zugleich in die gründlichste Kenntnis aller Dinge eingetaucht. Diese Schrift wird also sozusagen aus Bildern und aus geometrischen Figuren gebildet werden, wie einst die Schrift der Ägypter und heute die der Chinesen, nur dass deren Bilder nicht auf ein gewisses Alphabet bzw. auf Buchstaben zurückgeführt werden, weshalb sie eine ungeheure Gedächtnisleistung erfordern, wogegen hier das Gegenteil der Fall ist. Daher ist dies die XIte Anwendung der Komplexionen, eine Polygraphia universalis zu begründen.*


* Hier sei hingewiesen auf Otto Neurath: International Picture Language: the first rules of Isotype. London (Kegan Paul) 1936.



Problem III
Die Komplexionen der Klassen finden, wenn die Zahl der Klassen und die der Dinge in den Klassen gegeben sind.

Problem IV
Die verschiedenen Reihenfolgen finden, wenn die Zahl der Dinge gegeben ist.
[Permutationen]

Problem V
Bei gegebener Zahl der Dinge die Abwandlungen der verhätltnismäßigen Lage bzw. der Benachbarung

Problem VI
Bei gegebener Zahl der abzuwandelnden Dinge, von denen die einen oder anderen wiederholt werden, die Abwandlungen der Reihenfolge finden

Problem VII
Bei gegebenem Haupt die Abwandlungen finden

Problem VIII
die gemeinsamen Abwandlungen finden, wenn ein anderes Haupt gegeben ist

Problem IX
Häupter finden, die gemeinsame Abwandlungen haben

Problem X
Häupter geeigneter und ungeeigneter Abwandlungen finden

Problem XI
Die ungeeigneten Abwandlungen herausfinden.

Problem XII
Die geeigneten Abwandlungen herausfinden.